কাম্যকরণ(OPTIMIZATION)

কাম্যকরণ(OPTIMIZATION)

স্বাধীন চলকের একটি নির্দিষ্ট মানে অধীন চলকের যে মান পাওয়া যায় তাকে অপেক্ষকের মান বলে। অপেক্ষকের কাঙ্ক্ষিত বা কাম্য মান নির্ণয়ের পদ্ধতিকে কাম্যকরণ (0ptimization) বলে।  উৎপাদন-প্রক্রিয়ায় কাম্য মান দুই ধরণের হতে পারে। যথাঃ সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন।তবে কখন কাম্য মান  সর্বোচ্চ হবে এবং কখন  সর্বনিম্ন হবে তা নির্ভর করে উদ্দেশ্যমূলক  অপেক্ষকের উপর।

উদাহরণঃ Y=f(X)=X2 একটি অপেক্ষক। এখন  স্বাধীন চলক X-এর মান 2 হলে  অধীন চলক  Y-এর মান হবে f(2)=22=4।এই Y=4 হল অপেক্ষকের মান। এই অপেক্ষকের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান নির্ণয়ের পদ্ধতিকে কাম্যকরণ বলে। অপেক্ষকটি যদি আয় অপেক্ষক হয় তাহলে কাম্য মান হবে সর্বোচ্চ মান ;আর যদি  খরচ অপেক্ষক হয় তাহলে কাম্য মান হবে  সর্বনিম্ন মান। 

চরম মান এবং কাম্য মান(Extreme value and Optimum value)

চরম মান এবং কাম্য মানের মধ্যে আপাতদৃষ্টিতে কোন পার্থক্য পরিলক্ষিত হয় না।কিন্তু, প্রয়োগের ক্ষেত্র অনুসারে ধারণা দুটি ভিন্ন অর্থে ব্যবহৃত হয়।

চরম মান কথাটি  বিশুদ্ধ গাণিতিক আলোচনায় ব্যবহৃত হয় । বিশুদ্ধ গণিতে, স্বাধীন চলকের একটি নির্দিষ্ট মানে অধীন চলকের এক বা একাধিক সর্বোচ্চ বা  সর্বনিম্ন মান নির্ণয়ের পদ্ধতিকে চূড়ান্তকরণ বলে এবং এই চূড়ান্তকরণ প্রক্রিয়ায় কোন অপেক্ষকের যে মান পাওয়া যায় তাকে চূড়ান্ত মান (Extreme value) বলে। এক্ষেত্র চরম মানগুলোকে একটি সাধারণ term ‘Extremum’ দিয়ে প্রকাশ করা হয় অর্থাৎ  ‘Extremum’ শব্দটি  কোন অপেক্ষকের  সর্বোচ্চ (Maximum value) বা  সর্বনিম্ন (Minimum value) মানকে নির্দেশ করে। যেমন ঃ y=f(x)=x2+2x+1 অপেক্ষকের ক্ষেত্রে x-এর নির্দিষ্ট মানে y-এর সবচেয়ে বড় মানকে বলা হয় সর্বোচ্চ মান এবং সবচেয়ে ছোট মানকে বলা হয়  সর্বনিম্ন মান এবং এদেরকে এক সাথে চরম মান বলে।

অন্যদিকে অর্থনীতি ,সমাজ বিজ্ঞান,হিসাব বিজ্ঞান,ব্যবস্থাপনা প্রভৃতি ক্ষেত্রে কাম্যকরণ (Optimization) শব্দটি ব্যবহৃত হয়।  কাম্যকরণ প্রক্রিয়ায় প্রাপ্ত মানকে বলা হয় কাম্য মান(Optimum value)। এই  কাম্য মান দুই ধরণের হতে পারে। যথাঃ সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন।  

অর্থনীতিতে,  কি পরিমাণ শ্রম এবং মূলধন নিয়োগ করলে ফার্মের উৎপাদন  সর্বোচ্চ হবে তা নির্ণয় করাই অর্থনীতির মূল উদ্দেশ্য। অর্থাৎ এক্ষেত্রে উৎপাদনের কাম্য মান হল সর্বোচ্চ মান (Maximum value) ।তাছাড়াও অর্থনীতিতে উপযোগ  সর্বোচ্চকরণ,মুনাফা সর্বোচ্চকরণ,আয় সর্বোচ্চকরণ ইত্যাদি সমস্যা নিয়ে আলোচনা করা হয়। আবার, যখন কোন ফার্মের খরচের বিষ্য় নিয়ে আলোচনা করা  হয়,  তখন সর্বনিম্ন কত খরচে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ উৎপাদন করা যায়- তা নির্ণয় করাই মুল উদ্দেশ্য হয়। অর্থাৎ এক্ষেত্রে উৎপাদনের কাম্য মান হল সর্বনিম্ন মান (Minimum value) ।  তবে কখন কাম্য মান  সর্বোচ্চ হবে এবং কখন  সর্বনিম্ন হবে তা নির্ভর করে উদ্দেশ্যমূলক  অপেক্ষকের উপর। এক্ষেত্রে অপেক্ষকের কাম্য মান নির্ণয়কে উদ্দেশ্য হিসেবে ধরা হয়। স্বাধীন চলক বা চলকগুলোকে পছন্দ চলক হিসেবে বিবেচনা করা হয় । এই  চলকগুলির সাপেক্ষে অধীন চলকের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করা হয়। যেমনঃ

π(Q)= R(Q)-C(Q) একটি উদ্দেশ্যমুলক অপেক্ষক;

যেখানে π=মোট মুনাফা, R=মোট আয়, C=মোট ব্যয় এবং  Q= উৎপাদন।  এক্ষেত্রে Q এর সাপেক্ষে মুনাফার কাম্য মান হল  সর্বোচ্চ মান। এক্ষেত্রে π(Q)= R(Q)-C(Q)  অপেক্ষকটি একটি  উদ্দেশ্যমূলক অপেক্ষক এবং  Q হল পছন্দ চলক ।এই চলকের সাপেক্ষে মুনাফা  সর্বোচ্চ করাই এখানে মুল উদ্দেশ্য।

চরম মান / কাম্য মানের (Extreme value / Optimum value) প্রকারভেদ

চরম বা কাম্য মানকে আমরা প্রধানত দুটি ভাগে ভাগ করতে পারি। যথাঃ  (১) সর্বোচ্চ মান এবং (২) সর্বনিম্ন মান । এই সর্বোচ্চ মানকে আবার দুই ভাগে ভাগ করা যায়। যেমনঃ পরম/নিরঙ্কুশ সর্বোচ্চ মান এবং  আপেক্ষিক সর্বোচ্চ মান। সর্বনিম্ন মানকেও আবার  দুই ভাগে ভাগ করা যায়। যথাঃ পরম/নিরঙ্কুশ সর্বনিম্ন মান এবং  আপেক্ষিক সর্বনিম্ন মান।

শর্ত আরোপের দিক থেকে কাম্য মানকে আবার দুই ভাগে ভাগ করা যায়। যথাঃ (১) শর্তযুক্ত কাম্য মান এবং (২) শর্তহীন কাম্য মান। চলকের ভিত্তিতে এদের প্রত্যেককেই আবার এক চলক বিশিষ্ট অপেক্ষকের কাম্য মান এবং বহু চলক বিশিষ্ট অপেক্ষকের কাম্য মান হিসাবে ভাগ করা যায়।  তাহলে একটি ডায়াগ্রামের মাধ্যমে চরম বা কাম্য মানের প্রকারভেদকে আমরা নিম্নোক্ত ভাবে দেখাতে পারিঃ

চিত্র-১ঃচরম মান ও কাম্য মানের প্রকারভেদ

সর্বোচ্চ মান ( Maximum value)

স্বাধীন চলকের নির্দিষ্ট মানে কোন অপেক্ষকের সবচেয়ে বড় যে মানটি পাওয়া যায় তাকে অপেক্ষকের সর্বোচ্চ মান বলে। অন্যভাবে বলা যায়, কোন অপেক্ষকের লেখচিত্র অংকন করলে যদি তার উপরিস্থ কোন বিন্দুতে অপরাপর বিন্দু অপেক্ষা তার মান বেশী হয় তবে তাকে সর্বোচ্চ মান (Maximum value) বলে। গাণিতিক উপায়ে এরূপ মান নির্ণয় পদ্ধতিকে সর্বোচ্চকরণ (Maximization) বলে।

পরম/নিরঙ্কুশ এবং  আপেক্ষিক সর্বোচ্চ মান(Absolute and Relative Maximum value)

একটি নির্দিষ্ট পরিসরে স্বাধীন চলকের বিভিন্ন মানের প্রেক্ষিতে যদি অধীন চলকের দুই বা ততোধিক সর্বোচ্চ মান পাওয়া যায় এবং এই মান গুলো যদি সর্বোচ্চকরণের শর্তগুলি পূরণ করে, তাহলে সর্বোচ্চ মানগুলির মধ্যে যে মানটি সবচেয়ে বড় তাকে বলা হয় পরম/নিরঙ্কুশ সর্বোচ্চ মান (Asolute Maximum value) ।অবশিষ্ট অন্যান্য  সর্বোচ্চ মানগুলিকে বলা হয় আপেক্ষিক সর্বোচ্চ মান(Relative Maximum Value)।

নিচের চিত্রের সাহায্যে পরম/নিরঙ্কুশ সর্বোচ্চ মান এবং আপেক্ষিক সর্বোচ্চ মান দেখান হল ঃ

স্বাধীন চলক

                             চিত্র-২ ঃ পরম/নিরঙ্কুশ এবং  আপেক্ষিক সর্বোচ্চ মান

চিত্রে, y=f(x) অপেক্ষকে স্বাধীন চলকের x2 ,  x4 এবং x6 মানে  অপেক্ষকটির ৩টি সর্বোচ্চ মান পাওয়া যায় যাদেরকে B, D এবং F বিন্দু দ্বারা দেখান হয়েছে। এক্ষেত্রে স্বাধীন চলক x2-এর মানে অপেক্ষকটির সবচেয়ে বড় মানটি পাওয়া যায়। অপেক্ষকটির এই মানটিকেই বলা হয় পরম/নিরঙ্কুশ সর্বোচ্চ মান। আর স্বাধীন চলক   xএবং x6 -এর মানে আমরা D এবং  F বিন্দুতে অপেক্ষকটির যে মান দুটি পাই তা B বিন্দুতে প্রাপ্ত সর্বোচ্চ মান অপেক্ষা কম । এই মান দুটিকে বলা হয় আপেক্ষিক সর্বোচ্চ মান । উল্লেখ্য যে ,     B, D এবং F   প্রত্যেকটি বিন্দুতেই সর্বোচ্চকরণের শর্তগুলো পূরণ হয়।

সর্বনিম্ন  মান ( Maximum value)

স্বাধীন চলকের নির্দিষ্ট মানে কোন অপেক্ষকের সবচেয়ে ছোট যে মানটি পাওয়া যায় তাকে অপেক্ষকের সর্বনিম্ন মান বলে। অন্যভাবে বলা যায়, কোন অপেক্ষকের লেখচিত্র অংকন করলে যদি তার উপরিস্থ কোন বিন্দুতে অপরাপর বিন্দু অপেক্ষা তার মান কম হয় তবে তাকে সর্বনিম্ন মান ( Minimum value) বলে। গাণিতিক উপায়ে এরূপ মান নির্ণয় পদ্ধতিকে সর্বনিম্নকরণ (Minization) বলে।

 পরম/নিরঙ্কুশ এবং  আপেক্ষিক সর্বনিম্ন  মান(Abosolute and Relative Maximum value)

একটি নির্দিষ্ট পরিসরে স্বাধীন চলকের বিভিন্ন মানের প্রেক্ষিতে যদি অধীন চলকের দুই বা ততোধিক সর্বনিম্ন মান পাওয়া যায় এবং এই মান গুলো যদি সর্বনিম্নকরণের শর্তগুলি পূরণ করে, তাহলে সর্বনিম্ন মানগুলির মধ্যে যে মানটি সবচেয়ে ছোট তাকে বলা হয় পরম/নিরঙ্কুশ সর্বনিম্ন মান (Absolute Minimum Value)।অবশিষ্ট অন্যান্য  সর্বনিম্ন মানগুলিকে বলা হয় আপেক্ষিক সর্বনিম্ন মান(Relative Minimum Value) ।

নিচের চিত্রের সাহায্যে পরম/নিরঙ্কুশ সর্বনিম্ন মান এবং আপেক্ষিক সর্বনিম্ন মান দেখান হল।

 চিত্র-৩ ঃ পরম/নিরঙ্কুশ এবং  আপেক্ষিক সর্বনিম্ন মান চিত্রে, y=f(x) অপেক্ষকে স্বাধীন চলকের x1, x3 এবং x5 মানে  অপেক্ষকটির ৩টি সর্বনিম্ন মান পাওয়া যায় যাদেরকে   A,C এবং E বিন্দু দ্বারা দেখান হয়েছে। এক্ষেত্রে স্বাধীন চলক x3-এর মানে অপেক্ষকটির সবচেয়ে কম মানটি পাওয়া যায়। অপেক্ষকের এই মানটিকেই বলা হয় পরম/নিরঙ্কুশ সর্বনিম্ন মান। আর স্বাধীন চলক   xএবং x5 -এর মানে আমরা A এবং E  বিন্দুতে অপেক্ষকটির যে মান দুটি পাই তা C বিন্দুতে প্রাপ্ত সর্বনিম্ন মান অপেক্ষা কম । এই মান দুটিকে বলা হয় আপেক্ষিক সর্বনিম্ন মান । উল্লেখ্য যে , A,C এবং E  প্রত্যেকটি বিন্দুতেই  সর্বনিম্নকরণের শর্তগুলো পূরণ হয়।

শর্তহীন/শর্তমুক্ত(Unconstrained optimum value) কাম্য মান এবং শর্তযুক্ত(Constrained optimum value) কাম্য মান

কোন উদ্দেশ্যমূলক অপেক্ষকের চরম মান বা কাম্য মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে যদি কোন বিশেষ শর্ত পূরণ করতে না হয় অর্থাৎ  যদি সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান  নির্ণয়ের ক্ষেত্রে  বিশেষ কোন  বাঁধা না থাকে তাহলে তাকে শর্তহীন/শর্তমুক্ত কাম্য মান বলে।  যেমনঃ   y=f(x)=5x-6x+3 অপেক্ষকটির কাম্য মান নির্ণয় করতে বলা হলে , সেটি হবে শর্তহীন/শর্তমুক্ত কাম্য মান । এই শর্তহীন/শর্তমুক্ত কাম্য মানটি সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান হতে পারে।

কোন উদ্দেশ্যমূলক অপেক্ষকের চরম মান বা কাম্য মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে যদি কোন বিশেষ শর্ত পূরণ করতে  হয় অর্থাৎ  যদি সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান  নির্ণয়ের ক্ষেত্রে বিশেষ কোন  বাঁধা  থাকে তাহলে তাকে শর্তযুক্ত কাম্য মান বলে।  যেমনঃ   বলা হল,

উপযোগ অপেক্ষক ঃ U=Q1Q2+Q1+2Q2 হতে সর্বোচ্চ উপযোগ নির্দেশক Q1 এবং Q2 নির্ণয় কর যেখানে,

ভোক্তার বাজেট শর্ত হলঃ 2Q1+5Q2=51; অর্থাৎ প্রতি  একক Q1 দ্রব্যের দাম  2 টাকা এবং প্রতি  একক Q2   দ্রব্যের দাম  5 টাকা এবং ভোক্তার আয় 51 টাকার  সাপেক্ষে সর্বোচ্চ উপযোগ নির্দেশক Q1 এবং Q2 নির্ণয় করতে বলা হল। এক্ষেত্রে যে মানটি নির্ণীত হবে তাকে শর্তযুক্ত কাম্য মান বলে। 

Related Posts

মন্তব্য করুন

আপনার ই-মেইল এ্যাড্রেস প্রকাশিত হবে না। * চিহ্নিত বিষয়গুলো আবশ্যক।

bn_BDBengali
en_USEnglish bn_BDBengali